多维随机变量及其分布

二元均匀分布

设 \(D\) 是平面上的有界区域，其面积为 \(S_D\)。若二维随机变量 \((X, Y)\) 的联合概率密度函数为

\[ f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{S_D}, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases} \]

则称 \((X, Y)\) 服从区域 \(D\) 上的二元均匀分布（Bivariate uniform distribution），记为 \((X, Y) \sim U(D)\)。

对于 \(D\) 内的任意子区域 \(D_1\)，有

\[ P\{(X, Y) \in D_1\} = \frac{S_{D_1}}{S_D} \]

其中 \(S_{D_1}\) 是区域 \(D_1\) 的面积。

二元正态分布

设二维随机变量 \((X, Y)\) 的联合概率密度函数为

\[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - \frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}, \]

其中 \(-\infty < x, y < +\infty\)，参数 \(\mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R}\)，\(\sigma_1, \sigma_2 > 0\)，\(-1 < \rho < 1\)，则称 \((X, Y)\) 服从参数为 \((\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)\) 的二元正态分布（Bivariate normal distribution），记为 \((X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)\)。

二元正态分布具有以下重要性质：

1. 边缘分布：\(X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\)，\(Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，即二元正态分布的边缘分布都是正态分布。

2. 条件分布：给定 \(X = x\)，\(Y\) 的条件分布为正态分布： $$ { Y \mid X = x } \sim N\left(\mu_2 + \rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x - \mu_1), \sigma_2^2(1-\rho^2)\right) $$

3. 独立性与不相关性：对于二元正态分布，\(X\) 与 \(Y\) 相互独立当且仅当 \(\rho = 0\)（即不相关）。

4. 线性变换：若 \((X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)\)，则对于任意常数 \(a, b\)（不全为 \(0\)），有 $$ aX + bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2 + 2ab\rho\sigma_1\sigma_2) $$

二元正态分布的数字特征：

• \(E(X) = \mu_1\)，\(E(Y) = \mu_2\)
• \(\text{Var}(X) = \sigma_1^2\)，\(\text{Var}(Y) = \sigma_2^2\)
• \(\text{Cov}(X, Y) = \rho\sigma_1\sigma_2\)
• 相关系数 \(\rho_{XY} = \rho\)